วันอังคารที่ 31 มกราคม พ.ศ. 2555

ทศนิยมซ้ำ

        ทศนิยมซ้ำ คือจำนวนตรรกยะอย่างหนึ่งในเลขฐานสิบ ที่มีตัวเลขบางชุดปรากฏซ้ำกันโดยไม่สิ้นสุด ซึ่งการซ้ำของตัวเลขอาจเกิดขึ้นก่อนหรือหลัง หรือคร่อมจุดทศนิยม และชุดตัวเลขที่ซ้ำกันอาจจะมีเพียงแค่ตัวเลขตัวเดียวก็ได้

        ตัวอย่างเช่น   1/3 = 0.333333...   (อ่านว่า ศูนย์จุดสาม สามซ้ำ)
       สำหรับทศนิยมที่เขียนให้เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำแหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำเป็น คือไม่ทำให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม เช่น 0.56000000... = 0.56
      ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้ำที่ไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำของเลข 9 เพียงตัวเดียว ซึ่งเลข 9 ที่ซ้ำทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999... = 1
 หรือ 1.77999999... = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำของเลข 9 ใช้อธิบายว่าจำนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333... = 0.999999...
  
 ทศนิยมในประเภทอื่นมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ

       ทศนิยมรู้จบ คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำในรูปแบบ k / (2m5n) ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
       ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้


  สัญกรณ์
       ในการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปแบบที่อ่านง่าย ทำได้โดยการเติมขีดแนวนอน (vinculum) ไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น  หรือเติมจุดไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำ ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย เช่น  อย่างไรก็ตาม การใช้จุดประ 3 จุด (…) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการนำเสนอทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่ายังไม่มีคำแนะนำว่าจะต้องเขียนชุดเลขที่ซ้ำมาก่อนกี่ครั้ง
  ตัวอย่างเช่น
    1/9 = 0.111111111111…
    1/7 = 0.142857142857…
    1/3 = 0.333333333333…
    1/81 = 0.0123456790…
     2/3 = 0.666666666666… 
     7/12 = 0.58333333333…
   ในแถบยุโรปมีการใช้สัญกรณ์อย่างอื่นที่ต่างออกไป คือใช้เครื่องหมายวงเล็บล้อมรอบชุดตัวเลขที่ซ้ำ เช่น
    2/3 = 0. (6)
    1/7 = 0. (142857)
    7/12 = 0.58 (3)
        
   เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ
      ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่ง
       ตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้
       1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน
       1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน
       1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน
       1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน
       1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกัน
   ซึ่งรวมไปถึงเศษส่วน 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109 ฯลฯ

    การคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น
         2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…
         3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…
         4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…
         5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…
         6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…
   
    ซึ่งดูเหมือนว่า ตัวเลขที่ซ้ำกันในผลคูณจะได้มาจากการเลื่อนวนของ 1/7 แต่สาเหตุที่ทำให้เกิดพฤติกรรมการเลื่อนวนนั้นมาจากการคำนวณเลขคณิตในตัวเลขหลังทศนิยมเท่านั้น ซึ่งเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่งตัวอื่นๆ เช่น 1/17, 1/19, 1/23 ฯลฯ จะมีคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ด้วยเช่นกัน
       
      เศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ
        1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 2
        1/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 10
        1/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12

    โปรดสังเกตว่า การคูณเศษส่วน 1/13 ก็สามารถเกิดการเลื่อนวนในตัวเลขที่ซ้ำกัน และจะแบ่งออกเป็นสองชุด ชุดแรกได้แก่
           1/13 = 0.076923…
           3/13 = 0.230769…
           4/13 = 0.307692…
           9/13 = 0.692307…
         10/13 = 0.769230…
         12/13 = 0.923076…


 และอีกชุดหนึ่งได้แก่
     2/13 = 0.153846…
     5/13 = 0.384615…
     6/13 = 0.461538…
     7/13 = 0.538461…
     8/13 = 0.615384…
   11/13 = 0.846153…

การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ
บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่าง

 
\begin{array}{lrll}
& x & = 0.333333\dots & \quad (1) \\
(1) \times10; & 10x & = 3.33333\dots & \quad (2) \\
(2) - (1) ; & 9x & = 3 & \\
& x & = 3/9 = 1/3 & \\
\end{array}

                        หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง


\begin{array}{lrll}
& x & = 0.18181818\dots & \quad (1) \\
(1) \times100; & 100x & = 18.181818\dots & \quad (2) \\
(2) - (1) ; & 99x & = 18 & \\
& x & = 18/99 = 2/11 & \\
\end{array}

และเมื่อทศนิยมซ้ำสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ

วิธีลัด
      ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น
             0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" ซึ่งมี 1 หลัก
             0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" ซึ่งมี 2 หลัก
             0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" ซึ่งมี 3 หลัก
      ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.1 และมีเพียงเลข 0 จำนวน k หลัก นำหน้าชุดเลขซ้ำ n หลัก (ทั้งหมดต้องอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม) ดังนั้นตัวเศษจะเป็นชุดเลขซ้ำ และตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 จำนวน n ตัว และเพิ่มเลข 0 จำนวน k ตัวลงไปด้วย เช่น
                 0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" และนำด้วย "0" จำนวน 3 หลัก
                 0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" และนำด้วย "0" จำนวน 2 หลัก
                 0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" และนำด้วย "0" จำนวน 1 หลัก
      สำหรับทศนิยมอื่นที่นอกเหนือจากนี้ สามารถเขียนเป็นการบวกของทศนิยมรู้จบ กับทศนิยมซ้ำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังที่กล่าวไว้แล้ว ดังตัวอย่าง
                 1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
            0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีลัดจะยังไม่ให้ผลเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งจะต้องทำการลดทอนต่อไปด้วยตัวเอง
หมายเหตุ 0.999999999 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยกเว้นส่วนหนึ่ง



วันจันทร์ที่ 30 มกราคม พ.ศ. 2555

ทศนิยม

     ทศนิยม ประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นทศนิยม และมี (.) คั่นระหว่างสองส่วนนั้น
                    
                    การเปรียบเทียบทศนิยม
             -บนเส้นจำนวน ทศนิยมที่อยู่ทางขวาจะมากกว่าทศนิยมที่อยู่ทางซ้ายเสมอ
            -การเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นบวกสองจำนวนใดๆให้พิจารณาเลขโดดคู่แรกในตำแหน่งเดียวกัน ที่ไม่เท่ากันจำนวนที่มีเลขโดดในตำแหน่งนั้นมากกว่าจะเป็นจำนวนที่มากกว่า
            - การเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นลบสองจำนวนใดๆให้หาค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองจำนวน จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจะเป็นจำนวนที่มากกว่า
            -การเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นบวกและทศนิยมที่เป็นลบเนื่องจากทศนิยมที่เป็นบวก อยู่ทางขวามือของ 0 และทศนิยมที่เป็นลบอยู่ทางซ้ายของ 0 ดังนั้นทศนิยมที่เป็นบวกย่อมมากกว่าทศนิยมที่เป็นลบ
                  
                    การบวกทศนิยม
            -การบวกทศนิยมที่เป็นบวกคือ จัดเลขโดดที่อยู่ในหลักหรือตำแหน่งเดียวกันให้ตรงกันแล้วบวกกัน
            - การบวกทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวก
            - การบวกทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนลบ
            -การบวกทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าแล้วตอบเป็นจำนวนบวกหรือลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า
            -การบวกทศนิยมสามจำนวนบวกกันเราสามารถบวกทศนิยมคู่แรกหรือคู่หลังก่อนก็ได้โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายยังคงเท่ากัน
                  
                   การบวกทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก
            การบวกทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวก                                                                    
                    ตัวอย่าง   จงหาผลบวก 10.9 +21.05
                    วิธีทำ       10.9 + 21.05 = 10.90 + 21.05
                                                10.90  +
                                                21.05
                                                31.95
                   ดังนั้น 10.9 +21.05 = 31.95
                   ตอบ     ๓๑.๙๕
                
                   การบวกทศนิยมสามจำนวน
การบวกทศนิยมสามจำนวนบวกกันเราสามารถบวกทศนิยมคู่แรกหรือคู่หลังก่อนก็ได้โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายยังคงเท่ากัน
                   ตัวอย่าง  จงหาผลบวก 17.31 + (-12.69) + (-7.31)
                    วิธีที่ 1               17.31 + (-12.69) + (-7.31)  =    [17.31 + (-12.69)] + (-7.31)
                                                                                              =     4.62 + (-7.31)
                                     =     -2.69                  
                                                                  ตอบ     -๒.๖๙
            
                  วิธีที่ 2               17.31 + (-12.69) + (-7.31)  =    [17.31 + (-7.31)] + (-12.69)
                    =     10 + (-12.69)
                    =     -2.69                  

                                                                   ตอบ     -๒.๖๙

                        การลบทศนิยม
              ถ้า a เป็นทศนิยมใดๆ จำนวนตรงข้ามของ a มีเพียงจำนวนเดียวเขียนแทนด้วย –a และ  a+ (-a ) =(-a)+a = 0
              ถ้า a เป็นทศนิยมใดๆ จำนวนตรงข้ามของ -a มีเพียงจำนวนเดียวเขียนแทนด้วย –(–a) = a       
              การลบทศนิยมทำได้โดยมีหลักดังนี้  ตัวตั้ง -  ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
                          
                         การลบทศนิยม
             ถ้า a เป็นทศนิยมใดๆ จำนวนตรงข้ามของ a มีเพียงจำนวนเดียวเขียนแทนด้วย  –a และ   a+ (-a )
                  = (-a)+a = 0

              ตัวอย่าง        -1.5    เป็นจำนวนตรงข้ามของ 1.5 และ
         1.5     เป็นจำนวนตรงข้ามของ -1.5
        โดยที่ 1.5 +  (-1.5)  =  (-1.5) + 1.5  =  0
               
             ถ้า a เป็นทศนิยมใดๆ จำนวนตรงข้ามของ -a มีเพียงจำนวนเดียวเขียนแทนด้วย   – (–a) = a 

             ตัวอย่าง          -1.75   เป็นจำนวนตรงข้ามของ 1.75 และ
         1.75   เป็นจำนวนตรงข้ามของ -1.75
         โดยที่ 17.5 + (-17.5) = (-17.5) + 1.75 = 0

              ตัวตั้ง -  ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

             ตัวอย่าง  จงหาผลลบ 63.02 – (-86.38)
             วิธีทำ          63.02 – (-86.38) = 63.02 + (86.38)
                   63.02  +
                  86.38
                149.40
             ดังนั้น 63.02 – (-86.38) = 149.40
             ตอบ     ๑๔๙.๔o

                    การคูณทศนิยม
         การคูณทศนิยมที่เป็นบวกมีวิธีเช่นเดียวกันกับการคูณจำนวนเต็มบวกแล้วใส่จุดทศนิยมให้ถูกที่ คือ ถ้าตัวตั้งเป็น    ทศนิยมที่มี a ตำแหน่งตัวคูณเป็นทศนิยมที่มี b ตำแหน่ง ผลคูณจะเป็นทศนิยมที่มี a + b ตำแหน่ง
         การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก จะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นบวกและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
         การคูณทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบจะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นบวกและมี่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
         การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นลบจะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นลบและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

                        การคูณทศนิยม
           การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก       
         ตัวอย่าง   จงหาผลคูณ 1.7 x 2.5
          วิธีทำ                   17  x
          25
          85  +
         34
       425
          ดังนั้น 1.7 x 2.5 = 4.25
          ตอบ     ๔.๒๕   
                      การหารทศนิยม
          การหารทศนิยมด้วยทศนิยมที่เป็นการหารลงตัว เราใช้การคูณช่วยคำนวณดังนี้ 
             ตัวการ x ผลหาร = ตัวตั้ง
          หลักเกณฑ์การหารทศนิยมโดยใช้ค่าสัมบูรณ์มีดังนี้
          นำค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งและค่าสัมบูรณ์ของการหารมาหารกันแล้วพิจารณาดังนี้
    1)  ถ้าทั้งตัวตั้งและตัวหารเป็นทศนิยมที่เป็นบวกทั้งคู่หรือทศนิยมที่เป็นลบทั้งคู่ จะได้คำตอบ เป็นทศนิยมที่เป็นบวก
    2)  ถ้าทั้งตัวตั้งและตัวหารตัวใดตัวหนึ่งเป็นทศนิยมที่เป็นลบโดยอีกตัวหนึ่งเป็นทศนิยมที่เป็นบวก จะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นลบ