วันพุธที่ 25 มกราคม พ.ศ. 2555

ทฤษฎีเบื้องต้น

                          การหารลงตัว
              บทนิยาม     กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b 0
                                   b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
                                   และเขียนแทน “b หาร a ลงตัวได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a

              จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัวได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a

                              ตัวอย่างเช่น          3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n
                                                           -5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
                                                            6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n

                          สมบัติการหารลงตัว

                 ทฤษฎีบทที่ 1       กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
                                                ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c


                  ทฤษฎีบทที่ 2       กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
                                                 ถ้า a | b แล้วจะได้ a b

                  ทฤษฎีบทที่ 3       กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
                                                ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
                                                เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ


                          การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

                  1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

                        บทนิยาม      จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p 0, p 1, p -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

                  2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

                         บทนิยาม    จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

                        นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn

                     ตัวอย่างเช่น       จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
                                                จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
                                                จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

                     ขั้นตอนวิธีการหาร

                ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
                                            a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
                 นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r

                      ตัวอย่างที่ 1       กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
                                                 เขียนให้อยู่ในรูป a = bq + r            
                                                 48 = 7 × 6 +6
                                                 q = 6 และ r =
                               
                             ตัวหารร่วม
                  กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม  ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น ตัวหารร่วมของ a และ b

                            ตัวหารร่วมมาก
                   กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

                            ตัวอย่างเช่น          จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
                             วิธีทำ      ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
                                             ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
                                             ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
                                             ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
                                             นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
                                              
                                                            การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด


                         ตัวอย่างเช่น       จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
                         วิธีทำ            ในที่นี้ rk = 12
                                    ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

                 จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
                    บทนิยาม     จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

                 ตัวคูณร่วมน้อย              
                 กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

                           ตัวอย่างเช่น          จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
                            วิธีทำ      พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
                                            พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
                                            พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
                                            พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
                                 นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72


ระบบจะนวนจริง



               ระบบจำนวนจริง
      จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
            1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้          ตัวอย่างเช่น
       
         √2 , 3, 5, -2, - 3, -5            หรือ       ¶     ซึ่งมีค่า 3.14159265...
             
           2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
                                เขียนแทนด้วย 0.5000...
                               
                               เขียนแทนด้วย 0.2000...
                   
                 ระบบจำนวนตรรกยะ
          จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
              1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้    แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
              2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

                 ระบบจำนวนเต็ม
       จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
                 1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่
         
                               I - = {..., -4, -3, -2, -1}            เมื่อ     I -  เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
                
                  2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
                
                  3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
       
                                    I+ = {1, 2, 3, 4, ...}                  เมื่อ    I+    เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
      จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
                           
                                    N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

                ระบบจำนวนเชิงซ้อน
      นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
               
                x2 = -1  x = -1 = i
                x2 = -2  x = -2 = 2 i
                x2 = -3  x = -3 = 3 i
         จะเห็นได้ว่า ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบเราเรียก -1 หรือจำนวนอื่นๆ ใน ลักษณะนี้ว่า จำนวนจินตภาพและเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i

     ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)



                สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
           กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
                 1. สมบัติการสะท้อน a = a
                 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
                 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
                 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
                 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
          
                 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
              กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
                1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
                2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
                3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
               4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0      นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
               5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

                สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
              กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
                  1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
                  2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
                 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
                 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1     นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
                 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a 0   นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
                 6. สมบัติการแจกแจง
                            a( b + c ) = ab + ac
                           ( b + c )a = ba + ca
            จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

                         ทฤษฎีบทที่ 1      กฎการตัดออกสำหรับการบวก
                                                       เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
                                                       ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
                                                       ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

                 
                          ทฤษฎีบทที่ 2     กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
                                                      เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
                                                      ถ้า ac = bc และ c 0 แล้ว a = b
                                                      ถ้า ab = ac และ a 0 แล้ว b = c
                 
                             ทฤษฎีบทที่ 3     เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
                                                            a · 0 = 0
                                                            0 · a = 0
                 
                              ทฤษฎีบทที่ 4    เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
                                                             (-1)a = -a
                                                              a(-1) = -a
                 
                               ทฤษฎีบทที่ 5      เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
                                                            ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
                 
                                 ทฤษฎีบทที่ 6     เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
                                                              a(-b) = -ab
                                                              (-a)b = -ab
                                                              (-a)(-b) = ab
                 
              เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบ  จำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
                  
                           การลบจำนวนจริง
                 
                 บทนิยาม        เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
                                         a- b = a + (-b)
                                        นั่นคือ   a - b    คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
                 
                            การหารจำนวนจริง
                 บทนิยาม         เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ  b 0
                                          a/b   =   a(b-1)
                                          นั่นคือ    a/  คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b