วันพฤหัสบดีที่ 9 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

ประพจน์

     บทนิยาม
     ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

      ตัวอย่างเช่น        
     เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้     เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ
   
     ใครทำจานแตก                                 ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
    
     -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก               เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง
     
       นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์

      ตัวเชื่อมประพจน์และค่าความจริงของประพจน์
       กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ
   เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้

    1.ตัวเชื่อมประพจน์ "และ"
    การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)

    2.ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ"
    การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

    3.ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว"
     การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

    4.ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ"
    การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน

     5.นิเสธของประพจน์
    นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทน
นิเสธของ p ได้ด้วย ~p



ความน่าจะเป็น

แดงมีขวดโหลอยู่ใบหนึ่งที่ใส่สลากไว้ 10 ใบ บนสลากแต่ละใบเขียนเลขโดด 0 ถึง 9 ไว้ใบละตัว
แดงเขย่าขวดโหลให้คละกัน แล้วหลับตาหยิบสลากขึ้นมา 1 ใบ
     คิดว่าสลากที่แดงหยิบขึ้นมาน่าจะเป็นสลากที่เป็นตัวเลขที่มีค่ามากกว่า 3 หรือน้อยกว่า 3
        
         ตัวเลขในสลากที่แดงหยิบขึ้นมาจะเป็น 3 ได้หรือไม่
       
         เลขโดที่มีค่ามากกว่า 3 ได้แก่เลขโดดใดบ้าง
       
        เลขโดที่มีค่าน้อยกว่า 3 ได้แก่เลขโดดใดบ้าง
        
        จะเห็นได้ว่าในขวดโหลมีสลากที่เขียนเลขโดดที่มีค่ามากกว่า 3 ซึ่งได้แก่ 4,5,6,7,8 และ 9 อยู่ 6 ใบ      ในจำนวนสลากทั้งหมด 10 ใบในการหยิบสลากของแดงครั้งนี้ เรากล่าวได้ว่า ความน่าจะเป็นที่แดงจะหยิบได้สลากที่เขียนเลขโดดที่มีค่ามากกว่า 3 เป็น 6/10
         และในขวดโหลใบนี้มีสลากที่เขียนเลขโดดที่มีค่ามากกว่า 3 ซึ่งได้แก่ 0,1 และ 2 อยู่ 3 ใบ ในจำนวนสลากทั้งหมด 10 ใบ กล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นที่แดงจะหยิบได้สลากที่เขียนเลขโดดที่มีค่าน้อยกว่า 3   เป็น 3/10
        ในขวดโหลมีสลากที่เขียนตัวเลข 3 ไว้ 1 ใบ ในจำนวนสลากทั้งหมด 10 ใบจะบอกได้หรือไม่ว่า     ความน่าจะเป็นที่แดงจะหยิบได้สลากที่เขียนเลข 3 ไว้เท่าใด
         ชายคนหนึ่งซ้อมยิงปืน เขาพบว่าในการยิงปืนทุกๆ 100 ครั้ง เขายิงถูกเป้า 92 ครั้ง กล่าวได้ว่า
ความน่าจะเป็นของการที่ชายคนนี้จะยิงถูกเป้าเป็น  92/100 หรือ 0.92 หรือ 92 %
        จะบอกได้หรือไม่ว่า ความน่าจะเป็นของการที่ชายคนนี้จะยิงผิดเป้าเป็นเท่าไร ถ้าชายคนนี้ยิงนกที่อยู่ห่างออกไปเท่ากับเป้า คิดว่านกมีความหวังที่จะรอดชีวิตหรือไม่ 
       ในวิชาคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นคือจำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการหนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด
       การหาความน่าจะเป็นของเหตุการเป็นเรื่องที่สำคัญเรื่องหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ ความสนใจในเรื่องนี้้ เริ่มขึ้นจากการเล่นการพนัน ใน ค.ศ. 1654 นักการพนันชาวฝรั่งเศส ชื่อ เชอวาลิเอ เดอเมเร ได้ไปพนันกับคนอื่นๆไว้ว่า ถ้าโยนลูกเต๋าพร้อมกันสองลูก 24 ครั้ง จะได้แต้ม 6 ทั้งสองลูกอย่างน้อยที่สุดหนึ่งครั้ง ปรากฎว่าเขาแพ้พนันมากกว่าที่เขาชนะ เขาจึงนำปัญหาไปถาม ปาสกาล เพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขาว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น จากคำถามนี้ทำให้มีการศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ขึ้น และพบว่าถ้าเขาใช้ลูกเต๋าที่ "ยุติธรรม" และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "ได้แต้ม 6 ทั้งสองลูก อย่างน้อยหนึ่งครั้งในการโยนลูกเต๋าพร้อมกันสองลูก 24 ครั้ง " คือ 0.4914 หรือประมาณ 49% ซึ่งจากตัวเลขนี้เป็นการยืนยันได้ว่าเหตุการใด  เชอวาลิเอ เดอเมเร จึงแพ้พนันมากกว่าชนะ
       นอกจากในเรื่องการพนันแล้ว นักวิทยาศาสตร์ นักเศรษฐศาสตร์ นักสงคมศาสตร์ต่างต้องอาศัยความรู้เรื่องความน่าจะเป็นอยู่มาก เช่นใน ค.ศ.1865 เมลเดล บิดาแห่งพันธุศาสตร์สามารถทำนายผลของการผสมพันธุ์ของถั่วชนิดต่างๆได้อย่างถูกต้อง โดยใช้ความรู้เรื่องความน่าจะเป็นนี้เอง


http://www.sopon.ac.th/sopon/math/anong/a3/Index/P02N01.htm

อัตราส่วนและร้อยละ

1.อัตราส่วน คือ การเปรียบเทียบของสิ่งหนึ่งต่อของอีกสิ่งหนึ่งที่มีหน่วยอย่างเดียวกัน เช่น a : b อ่านว่า a ต่อ b หรือ a/b
   
       ตัวอย่าง
         ปรีชาสูง  150  ซม.  นายสุชาติสูง  170  ซม.  ดังนั้นความสูงของ นายปรีชาต่อความสูงของนายสุชาติ คือ 150 
   ต่อ 170  หรือเขียนเป็น
                                  
                               150  :  170  =  15  :  17

2. อัตราส่วนที่เท่ากัน  คือ  อัตราส่วนที่แสดงอัตราเดียวกัน นั่งเอง เช่น 3  :  5  =  6  :  10  =  12  :  20  เป็นต้น
3. สัดส่วน  คือ  ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงความเท่ากันของ  2  อัตราส่วน เช่น a  :  b  =  c  :  d  อ่านว่า ต่อ 
    เท่ากับ c ต่อ d
   
        ตัวอย่าง
  ถ้าสัดส่วน 2/3 = 10 / x  จงหาค่าของ x
       วิธีทำ  2 / 3 =  10 / x
                      2x = 10 *  3
                       x  =  10  *  3  /  2  (กฎคูณไขว้)
                        x  =  15
      
      การแก้ปัญหาโจทย์สัดส่วน
      -  อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่าโจทย์ต้องการอะไร และให้ข้อมูลอะไรมา
      -  สมมุติตัวแปร แทนสิ่งที่ต้องการ
      -  เขียนสัดส่วน(เปลี่ยนประโยคภาษาไทยให้เป็นประโยคสัญลักษณ์)
      -  หาค่าตัวแปรในสัดส่วน
      -  ตรวจสอบคำตอบ(นำคำตอบที่ได้ไปแทนค่าในโจทย์)เพื่อความไม่ประมาท

     ตัวอย่าง
      การผสมปูนใช้ซีเมนต์และทรายผสมกันด้วยอัตราส่วน  2  :  3  ถ้าต้องการปูนฉาบ  25  ถัง จะต้องใช้ปูนซีเมนต์และทรายอย่างละเท่าไร
       วิธีทำ   ปูนซีเมนต์และทรายมีอัตราส่วน  2  :  3
                    ปริมาณปูนฉาบทั้งหมด  =  2  +  3  =  5
                    ปูนซีเมนต์ต่อปูนฉาบทั้งหมด  =  ต่อ  5
                    สมมติให้ ปูนซีเมนต์ จำนวน  ถัง
                               2  /  5  =  x  /  25
                                x  =  2  * 25  /  5  =  10  (กฎคูณไขว้)
         ดังนั้น ใช้ปูนซีเมนต์จำนวน  10  ถัง  ใช้ทราย  จำนวน  25 – 10  =  15

4. ร้อยละ  คือ  อัตราส่วนที่มีจำนวนหลัง หรือจำนวนที่สองเป็น  100  เช่น  78  :  100  หมายถึง  ร้อยละ  78  หรือ  78 %

         ตัวอย่าง         2.5 %  ของ 800  เท่ากับเท่าไร
         วิธีทำ             2.5  *  800 / 100  =  20

        ตัวอย่าง         20  เป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ  50
        วิธีทำ           ใช้จำนวนที่ต้องการคือ  x
                                 20  =  x %  (50)
                                 20  =  x  *  50  /  100  =  x  /  2
                                   x  =  20  *  2  =  40
                  ดังนั้น  20  เป็น  40  เปอร์เซ็นต์ของ  50

 http://www.trueplookpanya.com/true/knowledge_detail.php?mul_content_id=297

วันจันทร์ที่ 6 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

มาตราตวง

       มาตราตวง เป็นมาตราที่นิยมก่อนการมีมาตราชั่ง และวัด โดยในสมัยโบราณนิยมใช้มาตราที่มีอยู่ในตัวเช่น มือ กำมือ ฟายมือ หรือใช้อุปกรณ์หาได้ง่ายๆ เช่นกะลามะพร้าว กระบุงสานจากไม้ไผ่ ซึ่งขนาดใหญ่เล็กแตกต่างกันไปในแต่ละที่แต่ละคนต่อมาสมัยรัชกาลที่ 5 มีความคิดตั้งกระทรวงขึ้นเพื่อจัดการเกี่ยวกับการค้าขาย และจัดการเรื่องมาตรฐานการชั่งตวงวัดให้มีมาตรฐานเดียวกันทั้งในประเทศและการค้าระหว่างประเทศ โดยขอเป็นสมาชิกองค์กรระหว่างประเทศว่าด้วยการชั่งตวงวัดซึ่งได้รับการตอบรับเป็นสมาชิกในปี พ.ศ. 2455 (ค.ศ. 1912) และตราพระราชบัญญัติมาตราขั่งตวงวัด พ.ศ. 2466 เพื่อใช้กำหนดมาตรฐานการชั่ง ตวง วัดในประเทศ ให้สอดคล้องกัน
มาตราตวงในระบบเมตริก
      ในระบบเมตริก (เป็นชื่อเก่าของระบบหน่วยSI เปลี่ยนในการประชุมครั้งที่11 ของ CGPM ปี 1960) หน่วยวัดปริมาตรในระบบ SI (The International System of Units,SI) หน่วยแสดงปริมาตรจะใช้หนึ่งในเจ็ดหน่วยหลัก (SI Base Units) ของระบบSI คือหน่วยแสดงปริมาณความยาวซึ่งมีชื่อว่าเมตร มาประกอบเข้าด้วยกัน ก็จะเป็น ลูกบาศก์เมตร (cubic metre, m^3) เช่น ใช้น้ำประปาไป 12 ลูกบาศก์เมตร (หรือทางประปาเรียกว่าใช้ไป 12 หน่วย) เป็นต้น หน่วยย่อยลงไปที่ใช้มาก คือ ลูกบาศก์เซนติเมตร, ซม^3 หรือ ซี.ซี. (cubic centimetre, cm^3) เช่น เบียร์กระป๋องมีความจุขนาด 330 ซม^3 เป๊บซี่หรือโค้กขนาด 325 ซม^3 แชมพูขนาด 400 ซี.ซี. น้ำปลา 700 ซม^3 เป็นต้น
       สำหรับคำว่าลิตร (litre) เป็นหน่วยที่ใช้อยู่โดยกว้างขวาง ไม่ได้จัดเข้าในระบบหน่วย SI แต่สามารถใช้ร่วมกับระบบนี้ได้โดยใช้เงื่อนใขจากการตกลงกันของสมาชิก CIPM 50 ประเทศดังนี้
        ความสัมพันธ์ระหว่างลิตรกับหน่วย SI เหล่านี้ คือ 1 L,l (1 ลิตร) = 1 l=1dm^3 = 10^3 cm^3= 10^-3 m^3 สัญลักษณ์ L และ l ใช้ได้ทั้ง 2แบบ เนื่องจากที่ประชุม CGPM (1979) เห็นว่าตัวเลขหนึ่ง 1 และตัวอักษรแอล l อาจทำให้สับสนก็มี ลิตร (litre หรือ liter, อังกฤษใช้ litre อเมริกันใช้ liter) สัญลักษณ์ใช้ l หรือ L (ตัวแอลเล็กหรือตัวแอลใหญ่) ใช้คำนำหน้าจากระบบSI (SI prefixes) ซึ่งมีอยู่ตอนนี้ 20 ตัว เพื่อแสดงหน่วยใหญ่กว่าและ หน่วยย่อยลงมาของลิตร ตัวอย่างเช่น เดซิลิตร, ดล. (decilitre, dl) , เซนติลิตร, ซล. (centilitre, cl) , มิลลิลิตร, มล. (millilitre, ml) ซึ่งยังคงใช้กันมากในปัจจุบัน เช่น ระบุราคาน้ำมันเบนซิน ดีเซล แก๊สโซฮอล์ ว่าเป็นลิตรละเท่าไร บอกความจุของน้ำอัดลมในขวดเป็น 1.25 ลิตร, 2 ลิตร บอกความจุของวิสกี้ เบียร์ ไวน์ ในขวดเป็น l, dl, ml หรือ cl บอกความจุของแชมพูในขวดเป็น ml เป็นต้น
    ความสัมพันธ์ของหน่วยเหล่านี้คือ 1 l (1 ลิตร) = 10 dl = 100 cl = 1000 ml หน่วยที่ใหญ่กว่าลิตรก็มี เช่น เดคาลิตร, ดคล. (decalitre, dal) ซึ่งเท่ากับ 10 ลิตร เฮคโตลิตร (hectolitre, hl) ซึ่งเท่ากับ 100 ลิตร เป็นต้น
ระบบอังกฤษมี ลูกบาศก์ฟุต (ft^3) ลูกบาศก์นิ้ว (in^3) ซึ่ง 1 ft^3 = 28.317 l (ลิตร) = 28,317 cm^3 = 0.028317 m^3
1 in^3 = 1.6387 x 10^–5 m^3  หน่วยปริมาตรของต่างประเทศที่เราได้ยินกันยังมี แกลลอน (gallon) 1 แกลลอน = 4.546 ลิตร (British Imperial gallon) ส่วนแกลลอนของสหรัฐอเมริกา (U.S. gallon) ไม่เท่ากับของอังกฤษ กล่าวคือ 1 U.S. gallon = 3.785 ลิตร
     สำหรับน้ำมันปิโตรเลียม ยังมีการใช้หน่วย บาร์เรล (barrel) โดยที่ 1 บาร์เรลเท่ากับประมาณ 159 ลิตร และ
1 บาร์เรล = 35 แกลลอนอังกฤษ (เท่ากับ159.11 ลิตร) ส่วนในสหรัฐอเมริกา 1 บาร์เรล = 42 แกลลอน (เท่ากับ 158.57 ลิตร)
    สำหรับการตวงวัดเหล้าในบาร์ ยังมีการใช้ถ้วยตวงที่มีขีดบอกปริมาตรเป็น ออนซ์ (onze) ด้วย (ซึ่ง ออนซ์ มีที่ใช้ทั้ง ในแบบปริมาตรและแบบน้ำหนัก) และมีการใช้หน่วย ควอต  (quart)  ซึ่ง   ควอ ต =  32  ออนซ์  และ
 1 แกลลอน  =  4  ควอต
     การตวงยา อาหาร และส่วนผสมในการทำอาหาร ยังอาจมีการใช้ หน่วย ช้อน ด้วย เช่น ให้รับประทานยาครั้งละ 1 ช้อนชา, 1 ช้อนโต๊ะ ซึ่ง 1 ช้อนโต๊ะ = 3 ช้อนชา ในเรื่องการตวงเหล้า การตวงวัดในบาร์ การตวงวัดในเรื่องเกี่ยวกับการปรุงอาหาร ยังมีหน่วยอื่น ๆ บางอย่างด้วย เช่น ไพนท์ (Pint) เพค (Peck) บุเชล (Bushel) ถ้วยตวง (Cup) เป็นต้น และมีความสัมพันธ์กับหน่วยตวงอื่น ๆ เช่น 1 เพค = 8 ควอต 4 เพค = 1 บุเชล 1 ถ้วยตวง = 8 ออนซ์ เป็นต้น
มาตราตวงของไทยโบราณมีการใช้ ทะนาน ถัง ตวงสิ่งของ ซึ่งเรามักจะคุ้นเคยกับเรื่องการตวงของแข็งมากกว่า เช่น เราคงทราบเรื่องการละเล่นของเด็กไทยอย่างหนึ่งที่มีเนื้อร้องตอนเล่น ว่า
   “รีรีข้าวสาร สองทะนานข้าวเปลือก
    เลือกท้องใบลาน เก็บเบี้ยใต้ถุนร้าน
   คดข้าวใส่จาน พานเอาคนข้างหลังไว้” [1]
     ทะนาน เป็นเครื่องตวงอย่างหนึ่ง ทำด้วยกะลามะพร้าว [2] โดยที่ 20 ทะนานเป็น 1 ถัง แล้วยังมี ทะนานหลวง ซึ่งเท่ากับ 1 ลิตรในระบบเมตริก ด้วย
นอกจาก ถัง แล้ว ยังมีอีกคำคือ สัด ซึ่ง สัด ก็เป็นภาชนะสานที่ใช้ตวงข้าว ส่วนถังนั้นสมัยโบราณทำด้วยไม้ คงมีการใช้ ถัง กับ สัด ปน ๆ กัน แต่ถัง กับ สัด มีขนาดไม่เท่ากัน ไม่ควรใช้แทนกัน ดังมีคำกลอนจากนิราศภูเขาทองของสุนทรภู่ [3] ตอนหนึ่ง ซึ่งนำคำ ถัง กับ สัด ไปเปรียบเทียบกับพฤติกรรมที่ไม่เหมาะสม ไม่ยุติธรรม ว่า
 “ จะยกหยิบธิบดีเป็นที่ตั้ง ก็ใช้ถังแทนสัดเห็นขัดขวาง
จึ่งจำลาอาวาสนิราศร้าง มาอ้างว้างวิญญาณ์ในสาคร
มีข้อมูล พระราชบัญญัติ มาตราชั่งตวงวัด พ.ศ. 2466 (รัชกาลที่ 6)
มาตรา 13 ข้อ 2 วิธีประเพณี โดยระบุว่า นาม, อัตรา และ อักษรย่อ ตามลำดับ
    เกวียนหลวง ให้เท่ากับ สองพันลิตร (กว.)
   บั้นหลวง ให้เท่ากับ พันลิตร (บ.)
   สัดหลวง ให้เท่ากับ ยี่สิบลิตร (ส.)
   ทนานหลวง ให้เท่ากับ หนึ่งลิตร (ท.)
(ทนาน เขียนตามที่ปรากฏใช้ในพระราชบัญญัตินี้ ปัจจุบัน พจนานุกรมใช้ ทะนาน) ไม่มีระบุเกี่ยวกับถังว่าเป็นเท่าไร
ยังมีหน่วยโบราณอื่น ๆ ที่มีขนาดน้อยกว่า ทะนาน เป็นการวัดโดยประมาณ เช่น
     4 กำมือ (มุฏฐิ) = 1 ฟายมือ (กุฑวะ)
     2 ฟายมือ = 1 กอบ (ปัตถะ)
    2 กอบ = 1 ทะนาน (นาฬี หรือ นาลี) เป็นต้น[4]
    ขนาด ฟายมือคือ เต็มอุ้งมือ หรือ เต็มฝ่ามือที่ห่อเข้าไปจะเห็นว่า หน่วยสำหรับการตวงก็มีมากพอสมควร ขึ้นอยู่กับความนิยม วัสดุรอบตัว ถัง กระบุง กะลา อวัยวะต่างๆ มือ แขน ซึ่งบางครั้งมีขนาดไม่แน่นอน อาจเกิดความไม่แน่ใจจนเกิดเป็นอุปสรรคในการวัดที่ดีพอสำหรับใช้งาน ควรเลือกใช้มาตราตวงที่มีมาตรฐานน่าเชื่อถือได้เพียงพอสำหรับการใช้งานนั้นๆ
หากจะหาปริมาตรตามหน่วยโบราณ เทียบกับหน่วยหลวง อาจคิดย้อนจาก
         1 หยิบมือ = 150 เมล็ดข้าวเปลือก
        4 หยิบมือ = 1 กำมือ = 600 เมล็ดข้าวเปลือก
        4 กำมือ = 1 ฟายมือ = 2,400 เมล็ดข้าวเปลือก
        2 ฟายมือ = 1 กอบมือ = 4,800 เมล็ดข้าวเปลือก
       4 กอบมือ = 1 ทะนาน = 19,200 เมล็ดข้าวเปลือก
       20 ทะนาน = 1 สัด = 384,000 เมล็ดข้าวเปลือก
       50 สัด = 1 บั้น = 19,200,000 เมล็ดข้าวเปลือก
      2 บั้น = 1 เกวียน หรือ 100 ถัง = 38,400,000 เมล็ดข้าวเปลือก
โดยเอาปริมาตรเมล็ดข้าวเปลือกเป็นเกณฑ์ (ไม่ทราบว่าเมล็ดข้าวเปลือกพันธุ์ใดที่โบราณใช้)

วันอังคารที่ 31 มกราคม พ.ศ. 2555

ทศนิยมซ้ำ

        ทศนิยมซ้ำ คือจำนวนตรรกยะอย่างหนึ่งในเลขฐานสิบ ที่มีตัวเลขบางชุดปรากฏซ้ำกันโดยไม่สิ้นสุด ซึ่งการซ้ำของตัวเลขอาจเกิดขึ้นก่อนหรือหลัง หรือคร่อมจุดทศนิยม และชุดตัวเลขที่ซ้ำกันอาจจะมีเพียงแค่ตัวเลขตัวเดียวก็ได้

        ตัวอย่างเช่น   1/3 = 0.333333...   (อ่านว่า ศูนย์จุดสาม สามซ้ำ)
       สำหรับทศนิยมที่เขียนให้เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำแหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำเป็น คือไม่ทำให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม เช่น 0.56000000... = 0.56
      ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้ำที่ไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำของเลข 9 เพียงตัวเดียว ซึ่งเลข 9 ที่ซ้ำทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999... = 1
 หรือ 1.77999999... = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำของเลข 9 ใช้อธิบายว่าจำนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333... = 0.999999...
  
 ทศนิยมในประเภทอื่นมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ

       ทศนิยมรู้จบ คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำในรูปแบบ k / (2m5n) ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
       ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้


  สัญกรณ์
       ในการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปแบบที่อ่านง่าย ทำได้โดยการเติมขีดแนวนอน (vinculum) ไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น  หรือเติมจุดไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำ ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย เช่น  อย่างไรก็ตาม การใช้จุดประ 3 จุด (…) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการนำเสนอทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่ายังไม่มีคำแนะนำว่าจะต้องเขียนชุดเลขที่ซ้ำมาก่อนกี่ครั้ง
  ตัวอย่างเช่น
    1/9 = 0.111111111111…
    1/7 = 0.142857142857…
    1/3 = 0.333333333333…
    1/81 = 0.0123456790…
     2/3 = 0.666666666666… 
     7/12 = 0.58333333333…
   ในแถบยุโรปมีการใช้สัญกรณ์อย่างอื่นที่ต่างออกไป คือใช้เครื่องหมายวงเล็บล้อมรอบชุดตัวเลขที่ซ้ำ เช่น
    2/3 = 0. (6)
    1/7 = 0. (142857)
    7/12 = 0.58 (3)
        
   เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ
      ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่ง
       ตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้
       1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน
       1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน
       1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน
       1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน
       1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกัน
   ซึ่งรวมไปถึงเศษส่วน 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109 ฯลฯ

    การคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น
         2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…
         3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…
         4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…
         5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…
         6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…
   
    ซึ่งดูเหมือนว่า ตัวเลขที่ซ้ำกันในผลคูณจะได้มาจากการเลื่อนวนของ 1/7 แต่สาเหตุที่ทำให้เกิดพฤติกรรมการเลื่อนวนนั้นมาจากการคำนวณเลขคณิตในตัวเลขหลังทศนิยมเท่านั้น ซึ่งเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่งตัวอื่นๆ เช่น 1/17, 1/19, 1/23 ฯลฯ จะมีคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ด้วยเช่นกัน
       
      เศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ
        1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 2
        1/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 10
        1/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12

    โปรดสังเกตว่า การคูณเศษส่วน 1/13 ก็สามารถเกิดการเลื่อนวนในตัวเลขที่ซ้ำกัน และจะแบ่งออกเป็นสองชุด ชุดแรกได้แก่
           1/13 = 0.076923…
           3/13 = 0.230769…
           4/13 = 0.307692…
           9/13 = 0.692307…
         10/13 = 0.769230…
         12/13 = 0.923076…


 และอีกชุดหนึ่งได้แก่
     2/13 = 0.153846…
     5/13 = 0.384615…
     6/13 = 0.461538…
     7/13 = 0.538461…
     8/13 = 0.615384…
   11/13 = 0.846153…

การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ
บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่าง

 
\begin{array}{lrll}
& x & = 0.333333\dots & \quad (1) \\
(1) \times10; & 10x & = 3.33333\dots & \quad (2) \\
(2) - (1) ; & 9x & = 3 & \\
& x & = 3/9 = 1/3 & \\
\end{array}

                        หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง


\begin{array}{lrll}
& x & = 0.18181818\dots & \quad (1) \\
(1) \times100; & 100x & = 18.181818\dots & \quad (2) \\
(2) - (1) ; & 99x & = 18 & \\
& x & = 18/99 = 2/11 & \\
\end{array}

และเมื่อทศนิยมซ้ำสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ

วิธีลัด
      ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น
             0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" ซึ่งมี 1 หลัก
             0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" ซึ่งมี 2 หลัก
             0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" ซึ่งมี 3 หลัก
      ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.1 และมีเพียงเลข 0 จำนวน k หลัก นำหน้าชุดเลขซ้ำ n หลัก (ทั้งหมดต้องอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม) ดังนั้นตัวเศษจะเป็นชุดเลขซ้ำ และตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 จำนวน n ตัว และเพิ่มเลข 0 จำนวน k ตัวลงไปด้วย เช่น
                 0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" และนำด้วย "0" จำนวน 3 หลัก
                 0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" และนำด้วย "0" จำนวน 2 หลัก
                 0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" และนำด้วย "0" จำนวน 1 หลัก
      สำหรับทศนิยมอื่นที่นอกเหนือจากนี้ สามารถเขียนเป็นการบวกของทศนิยมรู้จบ กับทศนิยมซ้ำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังที่กล่าวไว้แล้ว ดังตัวอย่าง
                 1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
            0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีลัดจะยังไม่ให้ผลเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งจะต้องทำการลดทอนต่อไปด้วยตัวเอง
หมายเหตุ 0.999999999 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยกเว้นส่วนหนึ่ง