ทฤษฎีเบื้องต้น

                          การหารลงตัว

              บทนิยาม     กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0

                                   b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn

                                   และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a

              จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a

                              ตัวอย่างเช่น          3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n

                                                           -5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n

                                                            6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n

                          สมบัติการหารลงตัว

                 ทฤษฎีบทที่ 1       กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ

                                                ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c

                  ทฤษฎีบทที่ 2       กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก

                                                 ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b

                  ทฤษฎีบทที่ 3       กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ

                                                ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy

                                                เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

                          การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

                  1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

                        บทนิยาม      จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

                  2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

                         บทนิยาม    จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

                        นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn

                     ตัวอย่างเช่น       จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ

                                                จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ

                                                จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

                     ขั้นตอนวิธีการหาร

                ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้

                                            a = bq + r เมื่อ 0 r |b|

                 นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r

                      ตัวอย่างที่ 1       กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r

                                                 เขียนให้อยู่ในรูป a = bq + r            

                                                 48 = 7 × 6 +6

                                                 q = 6 และ r = 6 

                               

                             ตัวหารร่วม

                  กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม  ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b

                            ตัวหารร่วมมาก

                   กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

                            ตัวอย่างเช่น          จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

                             วิธีทำ      ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

                                             ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48

                                             ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12

                                             ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12

                                             นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

                                              

                                                            การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด

                         ตัวอย่างเช่น       จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

                         วิธีทำ            ในที่นี้ rk = 12

                                    ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

                 จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

                    บทนิยาม     จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

                 ตัวคูณร่วมน้อย              

                 กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

                           ตัวอย่างเช่น          จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24

                            วิธีทำ      พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...

                                            พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...

                                            พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...

                                            พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72

                                 นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72

 http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_the.html

ระบบจะนวนจริง

               ระบบจำนวนจริง

      จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

            1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้          ตัวอย่างเช่น

       

         √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5            หรือ       ¶     ซึ่งมีค่า 3.14159265...

             

           2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น

                                เขียนแทนด้วย 0.5000...

                               

                               เขียนแทนด้วย 0.2000...

                   

                 ระบบจำนวนตรรกยะ

          จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

              1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้    แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

              2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

                 ระบบจำนวนเต็ม

       จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

                 1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่

         

                               I - = {..., -4, -3, -2, -1}            เมื่อ     I -  เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

                

                  2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)

                

                  3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่

       

                                    I+ = {1, 2, 3, 4, ...}                  เมื่อ    I+    เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

      จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่

                           

                                    N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

                ระบบจำนวนเชิงซ้อน

      นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้

               

                x2 = -1  ∴ x = √-1 = i

                x2 = -2  ∴ x = √-2 = √2 i

                x2 = -3  ∴ x = √-3 = √3 i

         จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ใน ลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i

     ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

                สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

           กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

                 1. สมบัติการสะท้อน a = a

                 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

                 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

                 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

                 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

          

                 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

              กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

                1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

                2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

                3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

               4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0      นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

               5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

                สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

              กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

                  1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

                  2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

                 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

                 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1     นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

                 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0   นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

                 6. สมบัติการแจกแจง

                            a( b + c ) = ab + ac

                           ( b + c )a = ba + ca

            จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

                         ทฤษฎีบทที่ 1      กฎการตัดออกสำหรับการบวก

                                                       เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                                       ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

                                                       ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

                 

                          ทฤษฎีบทที่ 2     กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

                                                      เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                                      ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b

                                                      ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

                 

                             ทฤษฎีบทที่ 3     เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                                            a · 0 = 0

                                                            0 · a = 0

                 

                              ทฤษฎีบทที่ 4    เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                                             (-1)a = -a

                                                              a(-1) = -a

                 

                               ทฤษฎีบทที่ 5      เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                                            ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

                 

                                 ทฤษฎีบทที่ 6     เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                                              a(-b) = -ab

                                                              (-a)b = -ab

                                                              (-a)(-b) = ab

                 

              เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบ  จำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

                  

                           การลบจำนวนจริง

                 

                 บทนิยาม        เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

                                         a- b = a + (-b)

                                        นั่นคือ   a - b    คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

                 

                            การหารจำนวนจริง

                 บทนิยาม         เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ  b ≠ 0

                                          a/b   =   a(b-1)

                                          นั่นคือ    a/b    คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

              http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_opt.html

                               

การเขียนตัวเลขแทนจำนวน

การเขียนตัวเลขแทนจำนวน

การใช้จำนวนแสดงปริมาณของสิ่งของนั้น คาดว่าได้พัฒนามานานก่อนสมัยประวัติศาสตร์ ซึ่งมีการจดบันทึกเหตุการณ์ต่าง ๆ ดังนั้นจึงไม่มีใครทราบว่ามนุษย์เริ่มมีความคิดในเรื่องจำนวนเมื่อใด แต่จากการศึกษาของนักโบราณคดีเกี่ยวกับอารยธรรมสมัยโบราณ ด้วยการอาศัยหลักฐานเกี่ยวกับซากวัตถุของใช้ต่าง ๆ ที่มนุษย์ในสมัยโบราณทำขึ้น สันนิษฐานว่ามนุษย์ในสมัยโบราณมีความรู้สึกเกี่ยวกับ “ การมากขึ้น “ “ การน้อยลง “ โดยเริ่มพัฒนาจากการนับอย่างง่าย เพื่อความจำเป็นในการดำรงชีวิตอยู่ เช่น เผ่าพันธุ์ต่าง ๆ ต้องการทราบว่ามีสัตว์เลี้ยงเท่าใด เพิ่มขึ้นจากเดิมเท่าใด ลดลงเท่าใด

ต่อมาเมื่อมีการเขียนมนุษย์จึงกำหนดสัญลักษณ์ขึ้นแทนจำนวน ซึ่งในแต่ละเผ่าพันธ์ก็กำหนดสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันออกไป สัญลักษณ์ที่แทนจำนวนนี้เราเรียกว่า ตัวเลข

ลักษณะของจำนวนและความหมายของตัวเลข

จำนวน ( number ) จำนวนเป็นนามธรรมทีทมนุษย์ทุกชาติทุกภาษาเข้าใจตรงกันว่าเป็นความรู้สึกของบุคคลที่เกี่ยวข้องกับปริมาณมากหรือน้อย

ตัวเลข ( numeral ) หมายถึงสัญลักษณ์แทนจำนวน จำนวนหนึ่งอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันตามที่มนุษย์และชนชาติ เผ่าพันธุ์กำหนดขึ้น เช่น จำนวนสองอาจแทนด้วยตัวเลข

ระบบตัวเลขไทย ตัวเลขฮินดูอารบิก และตัวเลขโรมัน

เมื่อมนุษย์มีการติดต่อสื่อสารซึ่งกันและกันมีการบันทึกข้อมูลไว้เป็นหลักฐานการเขียนส่งข่าวสื่อสารต่อกัน จำเป็นต้องมีสัญลักษณ์ให้เป็นระบบที่เข้าใจตรงกัน การบันทึกจำนวนต่างๆ ก็เช่นเดียวกัน โดยเฉพาะเมื่อต้องการบันทึกจำนวนที่มีขนาดใหญ่จะใช้วิธีการนับคราวละหนึ่งนั้นเป็นการไม่สะดวกและเสียเวลามาก มนุษย์จึงคิดค้นสัญลักษณ์แทนจำนวนและเขียนสัญลักษณ์เป็นระบบ เพื่อจะได้ใช้สัญลักษณ์ให้น้อยลง

วิธีการที่เป็นระบบที่ทำกันคือ คิดสัญลักษณ์แทนจำนวนเป็นสัญลักษณ์เดี่ยวๆ ก่อน ซึ่งเราเรียกว่า “ เลขโดด “ ( digit ) หลังจากนั้นจึงใช้สัญลักษณ์เดิมมาผสมกันเพื่อใช้แทนจำนวนอื่นๆ ในการใช้สัญลักษณ์แทนจำนวนนั้นระบบที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมานานนับตั้งแต่สมัยโบราณได้แก่ ระบบของพวกอียิปต์ โรมัน บาบิโลน กรีก มายัน ฮินดู และอาหรับ

ในที่นี้จะกล่าวถึงระบบตัวเลขไทยและระบบตัวเลขที่นิยมใช้เป็นสากลในปัจจุบันอาทิเช่น ระบบตัวเลขฮินดูอารบิก และระบบตัวเลขโรมัน

ระบบตัวเลขไทย

ระบบตัวเลขไทยเป็นระบบตัวเลขเชิงหลักฐานสิบ เช่นเดียวกับตัวเลขฮินดูอารบิกในศิลาจารึกตัวอักษรไทย สมัยสุโขทัยมีตัวเลขปรากฏอยู่หลายแห่ง

 เช่น

ศิลาจารึกพ่อขุนรามคำแหง ( ประมาณ พ.ศ. 1835 ) มีตัวเลข 0 , ๑ ,๒ ,๔ , ๕ , ๗

ศิลาจารึกวัดนครชุม ( พ.ศ. 1900 ) มีตัวเลข ๑ , ๒ , ๗ , ๙

ศิลาจารึกวัดป่ามะม่วง ( ประมาณ พ.ศ. 1905 ) มีตัวเลข ๑ , ๒ , ๓ , ๗

ศิลาจารึกวัดตาเถนขึงหนัง ( ประมาณ พ.ศ. 1943 ) มีตัวเลข ๒ , ๕ , ๖ , ๘ เป็นตัว

ระบบตัวเลขฮินดูอารบิก

ตัวเลขที่เรานิยมใช้แพร่หลายอยู่ทุกวันนี้เป็นระบบตัวเลขฮินดูอารบิกซึ่งตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่ชาวฮินดูซึ่งเป็นผู้คิดค้นระบบนี้เมื่อ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช และเป็นเกียรติแก่ชาวอาหรับซึ่งนำไปเผยแพร่ให้ชาวตะวันตก ตัวอย่างของเลขนี้มีอยู่บนศิลาจารึกในสมัยพระเจ้าอโศกมหาราช ( ประมาณปี พ.ศ. 293 ) และที่ผนังถ้ำใกล้เมืองปูนาและเมืองนาสิก ( ประมาณ พ.ศ. 443 ) ซึ่งยังไม่มีเลขศูนย์ใช้ตัวเลขโดเพียงเก้าตัว ต่อมาจึงมีการพัฒนาขึ้นและใช้เลขศูนย์ด้วย ( ประมาณ พ.ศ. 1343 )

วิธีการเขียนตัวเลขแทนจำนวนของฮินดูอารบิก

1. ใช้เลขโดดสิบตัว คือ 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 และ 9

2. จำนวนตั้งแต่สิบขึ้นไปใช้วิธีรวมกลุ่มเป็นสิบและแทนด้วยเลข 1 แต่เขียนเลข 1 ในตำแหน่งที่สอง นับจากขวามาซ้าย ถ้ารวมเป็นสิบได้สองกลุ่มจะใช้เลข 2 แทน ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ตำแหน่งของตัวเลขสำคัญมากเพราะมีค่าประจำตำแหน่งทีละตำแหน่ง เราเรียกวิธีการเขียนเลขแบบนี้ว่า ระบบตัวเลขฐานสิบ

เราสามารถใช้เลขโดด 10 ตัวต่อจาก 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 เขียนแทนจำนวนต่างๆ ซึ่งตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งต่างกัน

http://202.129.0.133/createweb/00000//00000-586.html

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

       อัตราส่วนตรีโกณมิติ  หมายถึง อัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งจะมีชื่อเรียกดังนี้

       Sine A ไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sin A  หาได้จาก  อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A  ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

        Cos A   โคไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า  cos A  หาได้จาก อัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุม A  ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

        Tangent A   แทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า  tan A  หาได้จาก อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A  ต่อความยาวด้านประชิดมุม A

        Cotangent A   โคแทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า  cot A  หาได้จาก อัตราส่วนของความยาวด้านด้านประชิดมุม A  ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุม A

        Secant A  ซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sec A  หาได้จาก อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก   ต่อ ความยาวด้านประชิดมุม A

        Cosecant A  โคซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า  cosec A  หาได้จาก อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก   ต่อ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A   

                ตัวอย่าง  กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูปจงหา

http://www.skoolbuz.com/library/content/5184

การให้เหตุผล

1.ระบบทางคณิตศาสตร์

              อนิยาม คือ ข้อความที่ไม่ต้องให้ความหมาย หรือ คำจำกัดความ

              บทนิยาม คือ ข้อความที่ให้ความหมาย หรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจน เพื่อทุกคนทราบความหมายที่ถูกต้องเข้าใจตรงกัน

             สัจพจน์ คือ ข้อความที่ทุกคนยอมรับว่าข้อความนั้นเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

            ทฤษฎีบท คือ ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริง ได้มีการพิสูจน์โดยอาศัย อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และวิธีทางอย่างมีเหตุมีผล

2. การให้เหตุผล

           มนุษย์เราให้เหตุผลสนับสนุนความเชื่อและเพื่อหาความจริงหรือข้อสรุปในเรื่องที่ต้องการศึกษา

                  2.1 การให้เหตุผลแบบอุปนัย ( Inductive Reasoning )

         เป็นการให้เหตุผลโดยยึดความจริงส่วนย่อยที่พบเห็นไปสู่ความจริงส่วนใหญ่

              ตัวอย่าง

         มนุษย์สังเกตพบว่า : ทุก ๆวันดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตอ. และตกทางทิศตต.

        จึงสรุปว่า : ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตอ. และตกทางทิศตต.เสมอ

          การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปในการค้นคว้าความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆแล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป อย่างไรก็ดีการหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นการสรุปผลจากหลักฐานข้อเท็จจริงที่มีอยู่  ดังนั้น ข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากหรือน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาอ้าง

1. จำนวนข้อมูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่นำมาเป็นข้อสังเกตหรือข้ออ้างอิงมีมากพอกับการสรุปความหรือไม่

2. ข้อมูลหลักฐาน หรือข้อเท็จจริงเป็นตัวแทนที่ดีในการให้ข้อสรุปหรือไม่

3. ข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนมากน้อยเพียงใด

2.2 การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning )

           เป็นการนำความรู้พื้นฐาน ความเชื่อ ข้อตกลง กฏ บทนิยามซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับเป็นจริงเพื่อหาเหตุนำไปสู่ข้อสรุป

ตัวอย่าง

             เหตุ    1) เด็กทุกคนชอบเล่นฟุตบอล

                                    2) ฟุตบอลเป็นกีฬา

                           ผล   เด็กทุกคนชอบเล่นกีฬา

      สรุปว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปถูกต้อง เมื่อ

1. ยอมรับเหตุเป็นจริงทุกข้อ

2. การสรุปผลสมเหตุสมผล

       ความสมเหตุสมผล

มี 2 ส่วน คือ

1. เหตุ สิ่งที่เรากำหนด / สมมติฐาน

2. ผล ผลสรุป / ข้อสรุป

*ผลสรุป จะถูกต้อง เมื่อมีความสมเหตุสมผล

การตรวจสอบการสมเหตุสมผล

การตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นสามารถตรวจสอบได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อความที่กำหนดมาให้ วิธีหนึ่งคือ การวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตาม/STRONG> จากแผนภาพ สอดคล้องกับผลสรุป

ดังนั้น การให้เหตุผลนี้ สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง

เหตุ      1. คนจีนบางคนนับถือศาสนาพุทธ

2. เหมยเป็นคนจีน

ผล เหมยไม่นับถือศาสนาพุทธ

ตอบ จากแผนภาพพบว่า กรณี 2 ไม่สอดคล้องผลสรุป ดังนั้นไม่สมเหตุสมผล

              หมายเหตุ ในการแสดงผลสรุปไม่สมเหตุสมผล เราไม่จำเป็นต้องเขียนแผนภาพทั้งหมดทุกกรณี โดยอาจจะยกเฉพาะกรณีที่ แผนภาพไม่สอดคล้องกับผลสรุปเพียงกรณีเดียวก็พอ

ตัวอย่าง

เหตุ      1) เรือทุกลำลอยน้ำ

2) ถังน้ำพลาสติกลอยน้ำได้

ผล ถังน้ำพลาสติกเป็นเรือ >> สังเกตว่า แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองข้อจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบ ว่า เรือทุกลำลอยน้ำได้ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆ ที่ลอยน้ำได้จะต้องเป็นเรือเสมอไป ข้อสรุปในตัวอย่างข้างต้นจึงเป็นการสรุปที่ไม่สมเหตุสมผล

ตอบ สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง

เหตุ      1. แมวทุกตัวเป็นปลา

2. ต้นไม้ทุกต้นเป็นแมว

ผล ต้นไม้ทุกต้นเป็นปลา >> สังเกตว่า ผลสรุปที่กล่าวมาว่า ต้นไม้ทุกต้นเป็นปลา นั้นสมเหตุสมผล แต่ไม่เป็นความจริงทางโลก

หมายเหตุ เมื่อยอมรับเหตุเป็นจริงตามสมมติฐานที่ตั้งไว้แล้ว ต่อให้ผลสรุปขัดแย้งกับความเป็นจริงทางโลก แต่หากเป็นจริงตามการให้เหตุผลนั้นแล้ว ก็ถือว่า การให้เหตุผลนั้นสมเหตุสมผล

สรุป การให้เหตุผลแบบอุปนัย

– โดยอ้างจากตัวอย่างหรือประสบการณ์ย่อยหลายๆตัวอย่าง แล้วสรุปเป็นความรู้ทั่วไป

– จากเหตุการณ์เฉพาะที่เกิดขึ้นซ้ำๆหลายๆครั้ง

– โดนใช้การคาดคะเน

– จากประสบการณ์ของผู้สรุป

– สิ่งที่กำหนดให้ จะสนับสนุน ผลสรุป แต่จะไม่สามารถยืนยันข้อสรุปได้

– ย่อย >> ใหญ่ คือ การนำข้อค้นพบจากตัวอย่างหลาย ๆ ตัวอย่างมาสรุปเป็นความรู้ทั่วไป กฎ สูตร หรือหลักการ

สรุป การให้เหตุผลแบบนิรนัย

– โดยอ้างเหตุผลจากความรู้พื้นฐานชุดหนึ่งที่ยอมรับกันมาก่อน

– เมื่อเหตุ (ข้อสมมติ) เป็นจริง แล้วทำให้เกิดผลสรุป

– สิ่งที่กำหนดให้ (เหตุ) สามารถยืนยัน ผลสรุปได้

– ถ้าเหตุนั้นทำให้เกิดผลสรุปได้ = การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล

– ถ้าเหตุทำให้เกิดผลสรุปไม่ได้ = การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

– ใหญ่ >> ย่อย คือการนำความรู้ทั่วไป กฎ สูตร หรือหลักการมาใช้ในการหาคำตอบหรืออธิบายหรือให้เหตุผลกับกรณีเฉพาะอันหนึ่ง

http://www.tlcthai.com/education/knowledge-online/content-edu/math-content-edu/16599.html